苏家兄妹四人围坐在书房里，桌上摊开一叠稿纸，墨迹未干。窗外秋阳斜照，映得纸上的数字泛着微光。
“五次根号3276800001到5904900000，”苏五震率先开口，手指轻敲桌面，“这个范围可不小。咱们先算算边界值。”
苏六坎立刻掏出计算器，噼里啪啦按了几下：“五次根号3276800001，约等于80.000000006，几乎就是80。而五次根号5904900000，正好是90，因为90的五次方就是5904900000。”
“所以这个，区间对应…”，苏七离，拿起笔在纸上写下，“也就是说，我们要讨论的是所有整数n，使得n的五次方落在3276800001到5904900000之间。那n从81开始，到90结束，共10个整数。”
苏六坎补充道：“而5904900000呢？59049是3的10次方，因为3???? = 59049。所以5904900000 = 59049 × 10?? = 3????× 2??× 5?? = 2??× 3????× 5??。而90?? = (9×10)?? = 9??× 10?? = (3??)??× (2×5)?? = 3????× 2??× 5??，完全吻合。所以上界是精确的五次幂。”
“所以这个区间左开右闭？”苏七离问。
“严格来说，3276800001 > 80??，因为80?? = (8×10)?? = 8??× 10?? = 32768 × 100000 = 3276800000。所以3276800001 = 80?? 1，确实大于80??。而下界是80?? 1，上界是90??。因此五次根号的范围是(80, 90]。”
苏八兑忽然眼睛一亮：“那我们可以列出81到89的五次方，看看它们在这个区间内的分布密度。比如，81??是多少？”
“这在区间内。”苏五震说，“而89??呢？89接近90，89?? = (90 - 1)??，可以用二项式展开：90?? - 5×90?? 10×90?? - 10×90?? 5×90 - 1。”
苏七离接过笔：“90?? = 5904900000，90?? = 65610000，所以5×90?? = 328050000，90?? = 729000，10×90?? = 7290000，90?? = 8100，10×90?? = 81000，5×90 = 450。代入得：
89?? = 5904900000 - 328050000 7290000 - 81000 450 - 1
= 5904900000 - 328050000 = 5576850000
7290000 = 5584140000
- 81000 = 5584059000
450 = 5584059450
- 1 = 5584059449。”
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第18章 五次根号32768十万1~59049十万